←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
📐

משפט חוצה הזווית והגובה ליתר

שני משפטים שנובעים מדמיון. אחרי הדף תדעו איך חוצה זווית מחלק צלע, ומה הגובה ליתר עושה למשולש ישר-זווית.

בתוכנית הלימודיםמשולש ישר זווית והתיכון ליתר · כיתה ט׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

שני משפטים חזקים שנשענים על דמיון. הראשון מחבר בין חוצה זווית ליחס צלעות. השני מפרק משולש ישר-זווית לשני משולשים דומים לו, ונותן שלוש נוסחאות שימושיות.

✂️משפט חוצה הזווית

המשפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים שהיחס ביניהם שווה ליחס שתי הצלעות היוצרות את הזווית.

בסימון: אם ⁦AD⁩ חוצה את ⁦∡A⁩ אז ⁦AB : AC = DB : DC⁩.

קל לזכור: הקטע הקרוב לצלע הגדולה הוא הגדול.

למה זה עוזר: מאפשר למצוא אורך בלי לחשב אף זווית.

ABCD⁦α⁩⁦α⁩⁦AD⁩ חוצה את ⁦∡A⁩, ולכן ⁦AB : AC = DB : DC⁩
📐הגובה ליתר

הרעיון: הגובה מן הזווית הישרה אל היתר מחלק את המשולש לשני משולשים שדומים לו וזה לזה.

נוסחת הגובה: ⁦CD² = AD · DB⁩. הגובה הוא הממוצע הפרופורציוני של שני חלקי היתר.

נוסחת הניצב: ⁦AC² = AD · AB⁩. הניצב בריבוע שווה למכפלת היתר בחלק הקרוב אליו.

וכך גם: ⁦BC² = BD · AB⁩ עבור הניצב השני.

ABCD⁦CD⁩ הוא הגובה ליתר ⁦AB⁩
✍️דוגמה פתורה — הגובה ליתר

נתון: במשולש ישר-זווית הגובה ליתר מחלק אותו לקטעים ⁦AD = 4⁩ ו-⁦DB = 9⁩.

מבקשים: מהו אורך הגובה ⁦CD⁩, ומהם הניצבים?

  1. הגובה:⁦CD² = 4 · 9 = 36⁩, ולכן ⁦CD = 6⁩.
  2. היתר:⁦AB = 4 + 9 = 13⁩.
  3. ניצב אחד:⁦AC² = 4 · 13 = 52⁩, ולכן ⁦AC = √52 ≈ 7.21⁩.
  4. ניצב שני:⁦BC² = 9 · 13 = 117⁩, ולכן ⁦BC ≈ 10.82⁩.

תשובה: ⁦CD = 6⁩, והניצבים בקירוב ⁦7.21⁩ ו-⁦10.82⁩.

שימו לב: בכל נוסחה כופלים ביתר השלם, לא בחלק השני של היתר.

ABCD
✍️דוגמה פתורה — חוצה זווית

נתון: במשולש ⁦ABC⁩ נתון ⁦AB = 8⁩, ⁦AC = 12⁩, והצלע ⁦BC = 15⁩. הקטע ⁦AD⁩ חוצה את ⁦∡A⁩.

מבקשים: מהם ⁦DB⁩ ו-⁦DC⁩?

  1. הכלל:⁦DB : DC = AB : AC = 8 : 12 = 2 : 3⁩.
  2. סימון:⁦DB = 2x⁩ ו-⁦DC = 3x⁩.
  3. משוואה:⁦2x + 3x = 15⁩, כלומר ⁦5x = 15⁩ ו-⁦x = 3⁩.
  4. הצבה:⁦DB = 6⁩ ו-⁦DC = 9⁩.

תשובה: ⁦DB = 6⁩ ו-⁦DC = 9⁩. בדיקה: ⁦6 + 9 = 15⁩.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

📐הגובה ליתר
1הגובה ליתר מחלק אותו לקטעים. חשבו את הגובה.
⁦AD = 4⁩, ⁦DB = 9⁩
⁦AD = 2⁩, ⁦DB = 8⁩
⁦AD = 3⁩, ⁦DB = 12⁩
⁦AD = 5⁩, ⁦DB = 20⁩
⁦AD = 9⁩, ⁦DB = 16⁩
⁦AD = 6⁩, ⁦DB = 24⁩
2חשבו את הניצב לפי ⁦AC² = AD · AB⁩.
⁦AD = 4⁩, ⁦AB = 25⁩. ⁦AC⁩
⁦AD = 9⁩, ⁦AB = 25⁩. ⁦AC⁩
⁦AD = 2⁩, ⁦AB = 18⁩. ⁦AC⁩
⁦AD = 8⁩, ⁦AB = 18⁩. ⁦AC⁩
⁦AD = 3⁩, ⁦AB = 27⁩. ⁦AC⁩
✂️חוצה הזווית
1חוצה הזווית מן ⁦A⁩ פוגש את ⁦BC⁩ בנקודה ⁦D⁩. חשבו את ⁦DB⁩.
⁦AB = 8⁩, ⁦AC = 12⁩, ⁦BC = 15⁩
⁦AB = 6⁩, ⁦AC = 9⁩, ⁦BC = 10⁩
⁦AB = 10⁩, ⁦AC = 15⁩, ⁦BC = 20⁩
⁦AB = 4⁩, ⁦AC = 6⁩, ⁦BC = 20⁩
⁦AB = 9⁩, ⁦AC = 3⁩, ⁦BC = 16⁩
2נתון היחס ⁦DB : DC⁩. כתבו את היחס ⁦AB : AC⁩ בצורה ⁦2:3⁩.
⁦4 : 6⁩
⁦10 : 15⁩
⁦9 : 12⁩
⁦8 : 20⁩
✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1חוצה זווית מחלק את הצלע שמולו לשני חלקים שווים.
2חוצה זווית מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות הסמוכות.
3הגובה ליתר הוא הממוצע הפרופורציוני של שני חלקי היתר.
4הגובה ליתר יוצר שני משולשים דומים למשולש המקורי.
5בנוסחת הניצב כופלים בחלק הרחוק של היתר.
6במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון.
7הגובה ליתר תמיד קטן מכל אחד מן הניצבים.
1הוכיחו שהגובה ליתר יוצר שני משולשים הדומים למשולש המקורי. ציינו באיזה משפט דמיון השתמשתם.
0 מיליםנשמר ✓
🧩בעיות
1במשולש ישר-זווית הניצבים ⁦6⁩ ו-⁦8⁩. חשבו את היתר, את הגובה אליו ואת שני חלקי היתר. הראו בדיקה בשתי דרכים.
0 מיליםנשמר ✓
2הגובה ליתר הוא ⁦12⁩ ואחד מחלקי היתר ⁦9⁩. מצאו את החלק השני ואת שני הניצבים.
0 מיליםנשמר ✓
3במשולש ⁦AB = 12⁩, ⁦AC = 18⁩ והחוצה מן ⁦A⁩ מחלק את ⁦BC⁩ לקטעים שהפרשם ⁦4⁩. מצאו את ⁦BC⁩.
0 מיליםנשמר ✓
4הסבירו למה משפט חוצה הזווית נובע ממשפט תלס, ולא ממשפט פיתגורס.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים