הנדסה

יסודות לכיתות ג-ד

📐 הַנְדָּסָה: זָוִיּוֹת וּמְשֻׁלָּשִׁים זוויות ומשולשים ברמת כיתות ג-ד. הסבר קצר ואחריו תרגול לבחירה.

קווים וזוויות

📏 קטעים, ישרים וקרניים מה ההבדל בין נקודה, ישר, קרן וקטע. אחרי הדף תדעו לקרוא ציור נכון ולחשב אורכי קטעים על ישר אחד. 📐 זווית: מה זה ואיך מסמנים מהי זווית, איפה הקודקוד ואיך כותבים אותה בלי לטעות. אחרי הדף תדעו לסמן זווית בשלוש דרכים ולחשב זוויות סביב נקודה. 📊 סוגי זוויות לכל טווח מעלות יש שם: חדה, ישרה, קהה, שטוחה, רפלקסית ומלאה. אחרי הדף תזהו סוג זווית במבט ותחשבו זוויות משלימות. ➖ זוויות צמודות שתי זוויות שיחד יוצרות ישר. אחרי הדף תדעו למצוא זווית חסרה בעזרת הכלל שסכומן 180 מעלות. ✖️ זוויות קודקודיות שני ישרים שנחתכים יוצרים ארבע זוויות. אחרי הדף תדעו לחשב את כל הארבע מתוך אחת. ✂️ חוצה זווית הקרן שמחלקת זווית לשתי זוויות שוות. אחרי הדף תזהו חוצה זווית בציור ותשתמשו בו בחישוב ובהוכחה. 🚃 ישרים מקבילים וחותך שמונה זוויות ורק שני מספרים. אחרי הדף תדעו לחשב את כל השמונה מזווית אחת ידועה. 🗺️ מקומות גיאומטריים אוסף כל הנקודות שמקיימות תנאי אחד. אחרי הדף תזהו אנך אמצעי, חוצה זווית ומעגל בתור מקומות גיאומטריים.

המשולש

🔺 סוגי משולשים שני מיונים שפועלים יחד: לפי זוויות ולפי צלעות. אחרי הדף תדעו לתת למשולש שני שמות בו זמנית. ➕ סכום הזוויות במשולש הכלל שסכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות, וההוכחה שלו. אחרי הדף תמצאו כל זווית חסרה, גם דרך משוואה. 📤 זווית חיצונית למשולש הזווית שנוצרת כשמאריכים צלע. אחרי הדף תדעו לחשב אותה בלי לעבור דרך הזווית הפנימית. 📏 גובה במשולש האנך מקודקוד אל הצלע שמולו. אחרי הדף תדעו לצייר את שלושת הגבהים ולזהות מתי גובה נופל מחוץ למשולש. 🎯 תיכון במשולש הקטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו. אחרי הדף תדעו מה תיכון מחלק לשניים ומה הוא לא מחלק. ✂️ חוצה זווית במשולש החוצה שיוצא מקודקוד המשולש. אחרי הדף תדעו להבדיל בינו לבין גובה ותיכון ולחשב את הזוויות שהוא יוצר. ⛰️ משולש שווה שוקיים שתי שוקיים שוות ושתי זוויות בסיס שוות. אחרי הדף תדעו למה קטע אחד ממלא שם שלושה תפקידים. 🔻 משולש שווה צלעות שלוש צלעות שוות ושלוש זוויות של 60 מעלות. אחרי הדף תדעו לחשב בו הכול מנתון אחד. 📐 משולש ישר-זווית ניצבים, יתר ושתי זוויות חדות שסכומן 90 מעלות. אחרי הדף תזהו את התיכון ליתר ותדעו שהוא חצי ממנו. ⚖️ היחס בין צלעות לזוויות במשולש מול הצלע הגדולה נמצאת הזווית הגדולה. אחרי הדף תדעו לסדר צלעות וזוויות לפי גודל בלי למדוד. 🚧 סכום שתי צלעות במשולש מתי שלושה אורכים יכולים להיות צלעות של משולש. אחרי הדף תדעו לבדוק זאת בשלוש שניות. 📎 קטע אמצעים במשולש הקטע שמחבר אמצעי שתי צלעות. אחרי הדף תדעו שהוא מקביל לשלישית ושווה למחציתה.

חפיפת משולשים

🧩 חפיפת משולשים: מה זה ולמה צריך מה זה שני משולשים זהים לגמרי ואיך מסמנים אותם. אחרי הדף תדעו לזהות צלעות וזוויות מתאימות ולמה לא מספיק להסתכל. 1️⃣ משפט חפיפה ראשון: צלע-זווית-צלע שתי צלעות והזווית שביניהן. אחרי הדף תדעו לבדוק אם הזווית באמת נמצאת בין שתי הצלעות, ולכתוב הוכחה בשלוש שורות. 2️⃣ משפט חפיפה שני: זווית-צלע-זווית שתי זוויות והצלע שביניהן. אחרי הדף תדעו גם את ההרחבה, כשהצלע אינה ביניהן. 3️⃣ משפט חפיפה שלישי: צלע-צלע-צלע שלוש צלעות, בלי אף זווית. אחרי הדף תדעו למה זה המשפט היחיד שאין בו שאלת מיקום. 4️⃣ משפט חפיפה רביעי: צלע-צלע-זווית שתי צלעות והזווית שמול הגדולה שבהן. אחרי הדף תדעו לבדוק את התנאי הנוסף שיש רק במשפט הזה. 🏁 חפיפה: תרגול מסכם כאן לא כתוב באיזה משפט להשתמש. אחרי הדף תדעו לבחור משפט מתוך נתונים ולכתוב הוכחה שלמה.

מרובעים ומצולעים

⬛ מרובע: יסודות צלעות, קודקודים ואלכסונים. אחרי הדף תדעו למה סכום הזוויות במרובע הוא תמיד 360 מעלות. ⬡ סכום הזוויות במצולעים נוסחה אחת לכל מצולע. אחרי הדף תחשבו סכום זוויות במחומש, במשושה ובכל מצולע אחר. ▱ מקבילית שני זוגות צלעות מקבילות, ומה שנובע מזה. אחרי הדף תדעו את כל תכונות המקבילית ואיך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית. ▭ מלבן מקבילית שכל זוויותיה ישרות. אחרי הדף תדעו מה התכונה שמבדילה אותו מכל מקבילית אחרת. ◆ מעוין מקבילית שכל צלעותיה שוות. אחרי הדף תדעו למה האלכסונים בו מאונכים וחוצים את הזוויות. ⬜ ריבוע גם מלבן וגם מעוין. אחרי הדף תדעו לגזור את כל תכונותיו משתי המשפחות. 🪜 טרפז זוג אחד של צלעות מקבילות. אחרי הדף תדעו להבדיל בין טרפז רגיל, שווה שוקיים וישר-זווית. 🪁 דלתון שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. אחרי הדף תדעו מה עושים שם האלכסונים. 📎 קטע אמצעים בטרפז הקטע שמחבר אמצעי השוקיים. אחרי הדף תדעו שהוא שווה לממוצע הבסיסים ותשתמשו בזה בחישובי שטח. 🗂️ מיון מרובעים: תרגול מסכם מי מכיל את מי ואיזו תכונה שייכת למי. אחרי הדף תזהו מרובע מתוך נתונים בלבד.

שטח, היקף ופיתגורס

📐 משפט פיתגורס סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. אחרי הדף תמצאו כל צלע חסרה במשולש ישר-זווית. ▭ שטח והיקף: מלבן וריבוע שתי נוסחאות בסיסיות. אחרי הדף תדעו מתי מודדים בסנטימטרים ומתי בסנטימטרים רבועים. 🔺 שטח והיקף של משולש חצי בסיס כפול גובה. אחרי הדף תדעו לבחור זוג בסיס וגובה מתאים מתוך שלושה. ▱ שטח והיקף של מקבילית ומעוין בסיס כפול גובה, ובמעוין גם דרך האלכסונים. אחרי הדף תדעו לבחור את הדרך שמתאימה לנתונים שקיבלתם. 🪜 שטח והיקף של טרפז חצי סכום הבסיסים כפול הגובה. אחרי הדף תדעו גם לחשב אותו דרך קטע האמצעים. ✖️ שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים נוסחה אחת למעוין, לריבוע ולדלתון. אחרי הדף תזהו מתי מותר להשתמש בה. 🏁 פיתגורס, שטחים והיקפים: תרגול מסכם כאן לא כתוב באיזו נוסחה להשתמש. אחרי הדף תדעו לבחור לבד, ולפעמים לשלב שתיים.

המעגל

⭕ המעגל: מושגי יסוד מרכז, רדיוס, קוטר, מיתר, קשת ומשיק. אחרי הדף תדעו לחשב היקף מעגל, שטח עיגול, אורך קשת ושטח גזרה. 📐 זווית מרכזית וזווית היקפית שתי זוויות שנשענות על אותה קשת. אחרי הדף תדעו שההיקפית היא תמיד חצי מהמרכזית, ותשתמשו בזה בחישובים. 📏 משיק למעגל ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת. אחרי הדף תדעו שהוא מאונך לרדיוס, ותחשבו אורך משיק בעזרת פיתגורס. ✖️ מכפלות במעגל: מיתרים, חותכים ומשיקים שלושה כללי מכפלה שהם למעשה כלל אחד. אחרי הדף תדעו למצוא קטע חסר מכל נקודה, בתוך המעגל או מחוצה לו. 🔷 מרובע חסום ומרובע חוסם מתי אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת הקודקודים, ומתי אפשר להכניס מעגל שנוגע בכל הצלעות. אחרי הדף תדעו לבדוק כל אחד משני התנאים.

דמיון ופרופורציה

➗ יחס ופרופורציה הכלי שכל נושא הדמיון נשען עליו. אחרי הדף תדעו לפתור פרופורציה במכפלה מוצלבת ולחלק קטע לפי יחס. 📏 קטעים פרופורציוניים ומשפט תלס קווים מקבילים חותכים קטעים ביחס שווה. אחרי הדף תדעו למצוא קטע חסר ולהוכיח שקווים מקבילים. 🔺 דמיון משולשים אותה צורה בגודל אחר. אחרי הדף תדעו את שלושת משפטי הדמיון, ותזכרו שההיקף גדל לפי היחס והשטח לפי היחס בריבוע. 📐 משפט חוצה הזווית והגובה ליתר שני משפטים שנובעים מדמיון. אחרי הדף תדעו איך חוצה זווית מחלק צלע, ומה הגובה ליתר עושה למשולש ישר-זווית.

מצולעים ודף נוסחאות

⬡ מצולעים משוכללים מצולע שכל צלעותיו וזוויותיו שוות. אחרי הדף תחשבו זווית פנימית, זווית חיצונית ומספר אלכסונים ממספר הצלעות בלבד. 📚 כל הנוסחאות במקום אחד דף העזר לחזרה לפני מבחן. כל הנוסחאות בטבלאות, ואחריהן תרגול שבודק אם אתם יודעים לבחור את הנכונה.

מפות וטבלאות מסכמות

🗺️ מפת המרובעים כל המרובעים במפה אחת. אחרי הדף תדעו איזה תנאי מוסיפים כדי לעבור מצורה לצורה, ולמה כל ריבוע הוא מעוין אך לא להפך. 📋 טבלת המרובעים ההגדרה של כל מרובע לצד התכונות שנובעות ממנה. אחרי הדף תדעו מה מותר להניח בהוכחה ומה צריך להוכיח. 📐 טבלת המרובעים המפורטת הטבלה המלאה לפני מבחן: הגדרה, תכונות, אלכסונים ונוסחת שטח. אחרי הדף תזהו מרובע מתוך נתון על האלכסונים בלבד.