←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
🏁

חפיפה: תרגול מסכם

כאן לא כתוב באיזה משפט להשתמש. אחרי הדף תדעו לבחור משפט מתוך נתונים ולכתוב הוכחה שלמה.

בתוכנית הלימודיםחפיפת משולשים · כיתה ח׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

כאן כבר לא כתוב באיזה משפט להשתמש. זהו החלק שבו מתאמנים על השאלה החשובה באמת: מה נתון, ומה אפשר להסיק ממנו.

🏁ארבעת המשפטים במבט אחד

צלע-זווית-צלע: שתי צלעות והזווית שביניהן.

זווית-צלע-זווית: שתי זוויות והצלע שביניהן. אפשר להשלים זווית שלישית.

צלע-צלע-צלע: שלוש צלעות.

צלע-צלע-זווית: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה שבהן.

שלוש זוויות אינן משפט חפיפה. הן מבטיחות דמיון, לא חפיפה.

🪜סדר העבודה בהוכחה

שלב ראשון: מסמנים בציור את כל מה שנתון.

שלב שני: מחפשים נתונים נסתרים: צלע משותפת, זווית משותפת, זוויות קודקודיות, זוויות בין מקבילים.

שלב שלישי: סופרים כמה נתונים יש ובודקים איזה משפט מתאים להם.

שלב רביעי: כותבים את השורות לפי הסדר, ואת שם המשפט בסוף.

שלב חמישי: מסיקים את מה שביקשו, ומנמקים בצלעות או זוויות מתאימות.

למה זה עוזר: רוב התלמידים נתקעים בשלב השני. שם מסתתרים הנתונים שאינם כתובים.

✍️דוגמה פתורה

נתון: במשולש שווה שוקיים ⁦ABC⁩ עם ⁦AC = BC⁩ מעבירים תיכון ⁦CM⁩ לבסיס ⁦AB⁩.

מבקשים: להוכיח ש-⁦△ACM ≅ △BCM⁩ ולהסיק ש-⁦CM⁩ מאונך ל-⁦AB⁩.

  1. ⁦AC = BC⁩נתון, המשולש שווה שוקיים.
  2. ⁦AM = MB⁩נתון, ⁦CM⁩ תיכון.
  3. ⁦CM = CM⁩צלע משותפת לשני המשולשים.
  4. ⁦△ACM ≅ △BCM⁩לפי צלע-צלע-צלע.
  5. ⁦∡CMA = ∡CMB⁩זוויות מתאימות בחפיפה.
  6. ⁦∡CMA + ∡CMB = 180°⁩הן צמודות.
  7. ⁦∡CMA = 90°⁩שתי זוויות שוות שסכומן ⁦180°⁩.

תשובה: ⁦CM ⊥ AB⁩, כלומר התיכון הוא גם גובה.

שימו לב: הצלע המשותפת ⁦CM⁩ היא הנתון השלישי. בלעדיה היו רק שני נתונים.

ABCM

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

🎯איזה משפט
1לכל שלישיית נתונים כתבו את שם המשפט המתאים, או כתבו "אין" אם אף משפט אינו מתאים.
⁦AB = DE, ∡B = ∡E, BC = EF⁩
⁦∡A = ∡D, ∡B = ∡E, ∡C = ∡F⁩
⁦AB = DE, BC = EF, AC = DF⁩
⁦∡C = ∡F, AC = DF, ∡A = ∡D⁩
⁦AB = DE = 14, AC = DF = 9, ∡C = ∡F⁩ והזווית מול ⁦AB⁩
⁦AB = DE, AC = DF, ∡B = ∡E⁩ והזווית מול הקטנה
2בשני הסעיפים שבהם כתבתם "אין", הסבירו לכל אחד מה בדיוק חסר או פסול.
0 מיליםנשמר ✓
3שלוש זוויות שוות מבטיחות...
4מהו השלב הקשה ביותר בהוכחת חפיפה, לפי הדף?
🕵️נתונים נסתרים
1התאימו כל מצב בציור לנתון שאפשר להוציא ממנו.
תרגיל
שני משולשים חולקים צלע
שני משולשים חולקים זווית
שני ישרים נחתכים
שני ישרים מקבילים וחותך
נקודה היא אמצע קטע
קרן חוצה זווית
תשובה
זוויות מתחלפות שוות
זוויות קודקודיות שוות
הזווית שווה לעצמה
הצלע שווה לעצמה
שתי הזוויות שנוצרו שוות
שני חלקי הקטע שווים
✔סמנו את כל מה שנחשב נתון תקין בהוכחה, גם אם אינו כתוב במפורש.
2הסבירו למה "נראה שווה בציור" אינו נתון, בעוד "צלע משותפת" כן.
0 מיליםנשמר ✓
3בציור שני משולשים בעלי קודקוד משותף שנוצר משני ישרים נחתכים. איזה נתון מקבלים בחינם, ואיך מנמקים אותו?
0 מיליםנשמר ✓
✍️סדר ההוכחה
1סדרו את שלבי ההוכחה שהתיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה.
1
2
3
4
5
6
2סדרו את חמשת שלבי העבודה בהוכחת חפיפה.
1
2
3
4
5
3כתבו הוכחה מלאה: במשולש שווה שוקיים ⁦ABC⁩ עם ⁦AC = BC⁩ מעבירים את חוצה זווית הראש ⁦CK⁩. הוכיחו ש-⁦△ACK ≅ △BCK⁩ וש-⁦AK = KB⁩.
0 מיליםנשמר ✓
4כתבו הוכחה מלאה: שני ישרים נחתכים בנקודה ⁦O⁩, ונתון ⁦AO = CO⁩ ו-⁦BO = DO⁩. הוכיחו ש-⁦△AOB ≅ △COD⁩.
0 מיליםנשמר ✓
✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1שלוש זוויות שוות מבטיחות חפיפה.
2צלע משותפת היא נתון תקין בהוכחה.
3אפשר להסתמך על ציור כדי לקבוע ששני קטעים שווים.
4זוויות קודקודיות הן נתון שאפשר להשתמש בו בלי שיהיה כתוב.
5בהוכחה כותבים תמיד את שם המשפט.
6מחפיפה אפשר להסיק גם צלעות וגם זוויות.
7צלע-צלע-זווית תקף לכל שתי צלעות וזווית.
8אמצע קטע נותן שני חלקים שווים.
9אם שני משולשים חופפים, גם שטחיהם שווים.
10אם שטחי שני משולשים שווים, הם חופפים.
1בחרו טענה שסימנתם "לא נכון" והסבירו במדויק מה בה שגוי.
0 מיליםנשמר ✓
🏆אתגר
1נתון מרובע ⁦ABCD⁩ שבו ⁦AB = CD⁩ ו-⁦AD = CB⁩. העבירו אלכסון ⁦AC⁩ והוכיחו שהמשולשים שנוצרו חופפים. איזה משפט השתמשתם בו, ומהו הנתון השלישי?
0 מיליםנשמר ✓
2נתון ⁦△ABC⁩ שבו ⁦∡A = ∡B⁩. העבירו את חוצה זווית ⁦∡C⁩ והוכיחו שהוא גם תיכון.
0 מיליםנשמר ✓
3שני משולשים חופפים. הסבירו למה בהכרח גם ההיקפים שלהם שווים וגם השטחים, ולמה ההפך אינו נכון.
0 מיליםנשמר ✓
4המציאו תרגיל הוכחה משלכם שנפתר בעזרת נתון נסתר אחד. כתבו את הנתונים, את מה שצריך להוכיח ואת הפתרון המלא.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים