קטעים פרופורציוניים ומשפט תלס — דף עבודה אינטראקטיבי

מה לומדים כאן

כשקווים מקבילים חוצים שני ישרים שנפגשים, נוצרים קטעים שהיחסים ביניהם שווים. זה משפט תלס, והוא הבסיס לכל נושא הדמיון.

📏משפט תלס

המשפט: קווים מקבילים החותכים את שוקי זווית קוצצים עליהן קטעים פרופורציוניים.

בסימון: ⁦OA : AC = OB : BD⁩, וגם ⁦OA : OC = OB : OD⁩.

גם ההפך נכון: אם הקטעים פרופורציוניים, אז הישרים מקבילים. זו הדרך להוכיח מקבילות.

למה זה עוזר: מכאן נובעים כל משפטי הדמיון.

שני מקבילים על שוקי הזווית ⁦O⁩

🔺תלס במשולש

המשפט: ישר המקביל לצלע במשולש וחותך את שתי הצלעות האחרות, מחלק אותן ביחס שווה.

בסימון: אם ⁦DE ∥ AB⁩ אז ⁦CD : DA = CE : EB⁩.

ובנוסף: המשולש ⁦CDE⁩ דומה למשולש ⁦CAB⁩, ולכן גם ⁦DE : AB = CD : CA⁩.

שימו לב לשני יחסים שונים: יחס בין החלקים, ויחס בין החלק לשלם. שניהם נכונים, אבל אסור לערבב ביניהם.

⁦DE⁩ מקביל ל-⁦AB⁩

✍️דוגמה פתורה — מוצאים קטע חסר

נתון: במשולש ⁦ABC⁩ מועבר ⁦DE ∥ AB⁩. נתון ⁦CD = 6⁩, ⁦DA = 4⁩ ו-⁦CE = 9⁩.

מבקשים: מהו ⁦EB⁩?

הכלל:⁦CD : DA = CE : EB⁩.
הצבה:⁦6 : 4 = 9 : EB⁩.
מכפלה מוצלבת:⁦6 · EB = 4 · 9 = 36⁩.
פתרון:⁦EB = 6⁩.

תשובה: ⁦EB = 6⁩. בדיקה: ⁦6 : 4⁩ שווה ⁦9 : 6⁩, כי שניהם ⁦1.5⁩.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

📏מחשבים קטע

1במשולש מועבר ⁦DE ∥ AB⁩. חשבו את הקטע החסר.

⁦CD = 6⁩, ⁦DA = 4⁩, ⁦CE = 9⁩. ⁦EB⁩

⁦CD = 8⁩, ⁦DA = 4⁩, ⁦CE = 10⁩. ⁦EB⁩

⁦CD = 5⁩, ⁦DA = 10⁩, ⁦CE = 4⁩. ⁦EB⁩

⁦CD = 9⁩, ⁦DA = 6⁩, ⁦EB⁩ = 8. ⁦CE⁩

⁦CD = 12⁩, ⁦CE = 8⁩, ⁦EB = 6⁩. ⁦DA⁩

2שני מקבילים חותכים את שוקי הזווית ⁦O⁩. חשבו.

⁦OA = 4⁩, ⁦AC = 6⁩, ⁦OB = 6⁩. ⁦BD⁩

⁦OA = 5⁩, ⁦AC = 10⁩, ⁦OB = 7⁩. ⁦BD⁩

⁦OA = 8⁩, ⁦OC = 20⁩, ⁦OB = 6⁩. ⁦OD⁩

⁦OA = 3⁩, ⁦AC = 9⁩, ⁦BD = 15⁩. ⁦OB⁩

🔀מקבילים או לא

1כתבו כן או לא: האם ⁦DE⁩ מקביל ל-⁦AB⁩?

⁦CD = 4⁩, ⁦DA = 6⁩, ⁦CE = 6⁩, ⁦EB = 9⁩

⁦CD = 3⁩, ⁦DA = 5⁩, ⁦CE = 6⁩, ⁦EB = 9⁩

⁦CD = 8⁩, ⁦DA = 4⁩, ⁦CE = 10⁩, ⁦EB = 5⁩

⁦CD = 5⁩, ⁦DA = 2⁩, ⁦CE = 10⁩, ⁦EB = 5⁩

⁦CD = 6⁩, ⁦DA = 9⁩, ⁦CE = 4⁩, ⁦EB = 6⁩

2הסבירו איך משתמשים בהפך של משפט תלס כדי להוכיח ששני ישרים מקבילים, ומה צריך לדעת מראש.

0 מיליםנשמר ✓

⚖️יחס לחלק ויחס לשלם

1אם ⁦DE ∥ AB⁩ ו-⁦CD : DA = 2 : 3⁩, מהו ⁦CD : CA⁩?

2אם ⁦CD : CA = 3 : 4⁩, מהו ⁦CD : DA⁩?

3אם ⁦DE ∥ AB⁩ ו-⁦CD : CA = 1 : 3⁩, מהו יחס ⁦DE : AB⁩?

4קו האמצעים במשולש הוא מקרה פרטי של משפט תלס שבו היחס הוא...

✔️נכון או לא נכון

✔סמנו נכון או לא נכון.

1קווים מקבילים חותכים על שוקי זווית קטעים פרופורציוניים.

2ההפך של משפט תלס מאפשר להוכיח מקבילות.

3אם ⁦DE ∥ AB⁩ אז ⁦CD = CE⁩ תמיד.

4קטע האמצעים במשולש הוא מקרה פרטי של משפט תלס.

5אם ⁦CD : DA = CE : EB⁩ אז ⁦DE ∥ AB⁩.

6יחס בין חלק לשלם שווה תמיד ליחס בין שני החלקים.

7משפט תלס עובד רק במשולש.

1במשולש מועבר קו מקביל לבסיס שמחלק את השוקיים ביחס ⁦1 : 2⁩. מה היחס בין הקו לבסיס, ולמה?

0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

←חזרה להנדסה ⌂כל הדפים

תרגול — בוחרים משימה

⬇️ הורדה למחשב

🔗 קישור לדף הזה