←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
📏

קטעים, ישרים וקרניים

מה ההבדל בין נקודה, ישר, קרן וקטע. אחרי הדף תדעו לקרוא ציור נכון ולחשב אורכי קטעים על ישר אחד.

בתוכנית הלימודיםזוויות: סימון ומדידה · כיתה ז׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

זה הדף הראשון בהנדסה, וכל השאר נשען עליו. קודם קוראים את ההסבר עם הציורים, ואחר כך בוחרים תרגול מתוך לוח המשימות. אפשר לחזור להסבר בכל רגע.

📘המושגים
A
נקודההמקום הקטן ביותר במישור. אין לה אורך ואין לה רוחב. מסמנים אותה באות גדולה: ⁦A⁩, ⁦B⁩, ⁦M⁩.
ישרקו ישר שנמשך בלי סוף לשני הכיוונים. אין לו התחלה ואין לו סוף, ולכן אי אפשר למדוד את אורכו. מסמנים אותו בשתי נקודות שעליו או באות קטנה.
A
קרןחצי ישר. יש לה נקודת התחלה אחת, שנקראת ראשית הקרן, ומשם היא נמשכת בלי סוף לכיוון אחד. גם לקרן אין אורך.
AB
קטעהחלק של הישר שבין שתי נקודות, כולל שתי הנקודות. לקטע יש התחלה, יש סוף, ולכן יש לו אורך שאפשר למדוד.
7
אורך קטעהמרחק בין שתי נקודות הקצה. כותבים ⁦AB = 7⁩ ס״מ. שימו לב: ⁦AB⁩ הוא הקטע, ו-⁦AB⁩ עם סימן שווה הוא המספר שמודד אותו.
קטעים שוויםשני קטעים שאורכם זהה. בציור מסמנים אותם באותו מספר קווים קטנים.
M
אמצע קטעהנקודה שמחלקת את הקטע לשני חלקים שווים.
📐שלושה דברים שנראים דומה ואינם דומה

ההבדל אינו בציור אלא בשאלה איפה זה נגמר. רק לקטע יש אורך.

ABקרןמתחילה ב-⁦A⁩ ונמשכת בלי סוף
ABקטעמתחיל ב-⁦A⁩ ונגמר ב-⁦B⁩
ABישרנמשך בלי סוף לשני הכיוונים
➕חיבור וחיסור של קטעים

הכלל: אם הנקודה ⁦B⁩ נמצאת על הקטע ⁦AC⁩, אז ⁦AB + BC = AC⁩.

ולהפך: אם רוצים חלק אחד, מחסרים: ⁦AC − AB = BC⁩.

הכלל עובד רק כאשר הנקודות סדורות על אותו ישר. אם ⁦B⁩ אינה על הקטע, אין שום קשר בין המספרים.

למה זה עוזר: רוב תרגילי הקטעים הם בסך הכול חיבור וחיסור, אחרי שמסתכלים נכון על הציור.

ABC4610
🎯אמצע קטע

ההגדרה: הנקודה ⁦M⁩ היא אמצע הקטע ⁦AB⁩ אם היא נמצאת עליו ומתקיים ⁦AM = MB⁩.

מכאן: ⁦AM = MB = ½ · AB⁩, וגם ⁦AB = 2 · AM⁩.

לקטע יש בדיוק אמצע אחד. לישר ולקרן אין אמצע, כי אין להם אורך.

למה זה עוזר: ברגע שכתוב "אמצע", יש בידיים שוויון: שני החצאים שווים.

AMB½AB½AB
✍️דוגמה פתורה

נתון: על ישר אחד סדורות הנקודות ⁦A⁩, ⁦B⁩, ⁦C⁩, ⁦D⁩ לפי הסדר. ידוע ⁦AB = 5⁩ ס״מ, ⁦BC = 9⁩ ס״מ, ⁦CD = 3⁩ ס״מ.

מבקשים: את האורכים ⁦AC⁩, ⁦BD⁩ ו-⁦AD⁩.

  1. ⁦AC = AB + BC = 5 + 9 = 14⁩הקטע ⁦AC⁩ מורכב משני קטעים סמוכים.
  2. ⁦BD = BC + CD = 9 + 3 = 12⁩אותו רעיון, מנקודה אחרת.
  3. ⁦AD = AB + BC + CD = 5 + 9 + 3 = 17⁩הקטע השלם הוא סכום כל החלקים.

תשובה: ⁦AC = 14⁩ ס״מ, ⁦BD = 12⁩ ס״מ, ⁦AD = 17⁩ ס״מ.

שימו לב: הסדר בשאלה הוא מידע. אילו ⁦C⁩ הייתה לפני ⁦B⁩, כל התשובות היו משתנות.

ABCD593
✍️דוגמה פתורה שנייה — עובדים אחורה

נתון: הנקודה ⁦M⁩ היא אמצע הקטע ⁦AB⁩. ידוע ⁦MB = 6.5⁩ ס״מ. על הקטע ⁦MB⁩ סומנה נקודה ⁦K⁩ כך ש-⁦MK = 2⁩ ס״מ.

מבקשים: את ⁦AB⁩ ואת ⁦KB⁩.

  1. ⁦AM = MB = 6.5⁩זו בדיוק המשמעות של המילה "אמצע".
  2. ⁦AB = 2 · 6.5 = 13⁩הקטע השלם הוא פי שניים מחצי.
  3. ⁦KB = MB − MK = 6.5 − 2 = 4.5⁩חיסור בתוך הקטע ⁦MB⁩.

תשובה: ⁦AB = 13⁩ ס״מ, ⁦KB = 4.5⁩ ס״מ.

שימו לב: "אמצע" לא אומר שהנקודה נראית באמצע בציור. זה נתון, לא הרגשה.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

📘מושגי יסוד
1מה ההבדל בין ישר לקטע?
2לאיזו צורה יש נקודת התחלה אחת בלבד?
3כמה קטעים שונים אפשר לסמן על ישר שעליו ארבע נקודות?
4מה נכון לגבי אמצע קטע?
5הכתיב ⁦AB = 8⁩ ס״מ אומר ש...
🧮חישוב קטעים
1הנקודות סדורות על ישר אחד. חשבו את האורכים החסרים. כל האורכים בס״מ.
ABCD476

עונים במספר בלבד, בלי יחידות.

2לפי הציור, חשבו:
PQRS699
3כאן חסר קטע פנימי. הקטע השלם ידוע.
ABC513

מה צריך להוסיף ל-5 כדי להגיע ל-13?

4הקטע השלם ⁦KN⁩ שווה 30 ס״מ. חשבו את החלק החסר.
KLMN71130
5לפי הציור, חשבו את שלושת האורכים.
ABCD91619

מתחילים מהמקום שבו יש מספיק מידע, לא בהכרח משמאל.

🎯אמצע קטע
1⁦M⁩ היא אמצע ⁦AB⁩. ידוע ⁦AB = 24⁩ ס״מ.
AMB
2⁦M⁩ היא אמצע ⁦AB⁩. ידוע ⁦AM = 9.5⁩ ס״מ.
AMB
3הנקודה ⁦N⁩ היא אמצע ⁦PQ⁩, והנקודה ⁦K⁩ היא אמצע ⁦PN⁩. ידוע ⁦PQ = 40⁩ ס״מ.
PKNQ

פותרים שלב אחרי שלב: קודם ⁦PN⁩, ורק אז ⁦PK⁩.

4הנקודה ⁦M⁩ היא אמצע ⁦AB⁩. על ⁦MB⁩ סומנה ⁦T⁩ כך ש-⁦MT = 3⁩ ס״מ ו-⁦TB = 4⁩ ס״מ.
AMTB34
5⁦C⁩ היא אמצע ⁦AE⁩, ו-⁦B⁩ היא אמצע ⁦AC⁩. ידוע ⁦BC = 5⁩ ס״מ.
ABCE5
✔️נכון או לא נכון
✔לפי ההגדרות שלמדתם, סמנו נכון או לא נכון.
1אפשר למדוד את אורכו של ישר בסרגל.
2לכל קטע יש בדיוק שתי נקודות קצה.
3אם ⁦B⁩ על הקטע ⁦AC⁩ אז ⁦AB + BC = AC⁩.
4לקרן יש נקודת התחלה אחת ואין לה סוף.
5אם ⁦AM = MB⁩ אז בהכרח ⁦M⁩ היא אמצע ⁦AB⁩.
6דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בדיוק.
7אם ⁦M⁩ אמצע ⁦AB⁩ אז ⁦AB = 2 · MB⁩.
8שני קטעים שווים חייבים להיות באותו מקום במישור.
9הכתיב ⁦AB⁩ והכתיב ⁦BA⁩ מתארים את אותו קטע.
10קרן ארוכה מישר.
1בסעיף החמישי סימנתם "לא נכון". הסבירו בדיוק מה חסר בטענה כדי שתהיה נכונה, ותנו דוגמה בציור או במילים שמראה למה בלי התוספת הזאת הטענה נכשלת.
0 מיליםנשמר ✓
✍️סימונים וכתיב
1התאימו כל סימון למשמעות שלו.
תרגיל
⁦AB⁩
⁦AB = 6⁩
⁦AM = MB⁩
⁦AB = 2 · AM⁩
שני קווים קטנים על צלע
תשובה
הקטע השלם גדול פי שניים מהחלק
הקטע שקצותיו ⁦A⁩ ו-⁦B⁩
אורך הקטע הוא 6 יחידות
שני הקטעים שווים באורכם
סימון בציור לקטעים שווים
2לפי הציור, כתבו את שם הקטע המתאים. כותבים שתי אותיות גדולות, למשל ⁦AC⁩.
ABCD369
הקטע השלם בציור
הקטע שבין הנקודה השנייה לרביעית
הקטע הקצר ביותר
הקטע שאורכו 15
✔אילו מהמשפטים הבאים מתארים נכון את הציור שלמעלה? סמנו את כל הנכונים.
3כתבו בעצמכם שאלה על הקטע ⁦AD⁩ שהתשובה שלה היא 12, וכתבו גם את הפתרון.
0 מיליםנשמר ✓
💡חשיבה
1תלמיד טען: "אם ⁦AB = 5⁩ ו-⁦BC = 8⁩ אז ⁦AC = 13⁩ תמיד." מתי הוא צודק ומתי לא? ציירו מצב אחד שבו הוא טועה והסבירו.
0 מיליםנשמר ✓
2על ישר סומנו חמש נקודות. כמה קטעים שונים אפשר לסמן ביניהן? הסבירו איך ספרתם בלי לפספס ובלי לספור פעמיים.
0 מיליםנשמר ✓
3הקטע ⁦AB⁩ אורכו 20 ס״מ. סמנו עליו נקודה ⁦P⁩ כך ש-⁦AP⁩ גדול פי שלושה מ-⁦PB⁩. חשבו את שני האורכים והסבירו את דרך החשיבה.
0 מיליםנשמר ✓
4אמצע קטע הוא נקודה אחת בלבד. הסבירו למה לא ייתכנו שתי נקודות שונות שכל אחת מהן היא אמצע של אותו קטע.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים