←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
4️⃣

משפט חפיפה רביעי: צלע-צלע-זווית

שתי צלעות והזווית שמול הגדולה שבהן. אחרי הדף תדעו לבדוק את התנאי הנוסף שיש רק במשפט הזה.

בתוכנית הלימודיםחפיפת משולשים · כיתה ח׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

זהו המשפט המסובך מבין הארבעה, ולכן חשוב לקרוא אותו לאט. יש בו תנאי שאין בשלושת האחרים, ובלעדיו הוא פשוט אינו נכון.

4️⃣המשפט

הניסוח: אם שתי צלעות והזווית שמול הגדולה שבהן במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי צלעות ולזווית שמול הגדולה שבהן במשולש אחר, אז המשולשים חופפים.

בקיצור: צלע-צלע-זווית — צלע, צלע, וזווית מול הגדולה.

התנאי הנוסף: הזווית חייבת להיות מול הצלע הגדולה מבין השתיים. זה מה שמבדיל אותו משאר המשפטים.

ABCDEF
⚠️למה התנאי הכרחי

בלי התנאי, שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן אינן קובעות משולש יחיד.

אפשר לבנות שני משולשים שונים לגמרי עם אותם שני אורכים ואותה זווית: באחד הזווית השלישית חדה ובשני קהה.

המצב הזה נקרא המקרה הדו-משמעי, והוא בדיוק הסיבה שהמשפט מגביל את עצמו לזווית שמול הצלע הגדולה.

כשהזווית נמצאת מול הגדולה, רק אפשרות אחת נשארת, ולכן החפיפה מובטחת.

למה זה עוזר: זהו המקום היחיד בפרק שבו נתון "כמעט נכון" מוביל לתשובה שגויה.

📐מקרה פרטי חשוב: משולשים ישרי-זווית

במשולש ישר-זווית היתר הוא תמיד הצלע הגדולה, והזווית הישרה נמצאת מולו.

לכן אם בשני משולשים ישרי-זווית שווים היתר וניצב אחד, התנאי מתקיים אוטומטית.

זהו שימוש נפוץ מאוד: יתר וניצב שווים פירושם חפיפה.

ABCDEFיתר וניצב שווים בשני משולשים ישרי-זווית
✍️דוגמה פתורה

נתון: נתון ⁦AC = DF = 10⁩, ⁦BC = EF = 7⁩ ו-⁦∡B = ∡E⁩. הזווית ⁦∡B⁩ נמצאת מול ⁦AC⁩.

מבקשים: להוכיח חפיפה, ולבדוק שהתנאי מתקיים.

  1. בודקים איזו צלע גדולה: ⁦AC = 10⁩ גדולה מ-⁦BC = 7⁩.זה השלב הראשון תמיד.
  2. הזווית ⁦∡B⁩ נמצאת מול ⁦AC⁩, שהיא הגדולה.התנאי מתקיים.
  3. ⁦AC = DF⁩, ⁦BC = EF⁩, ⁦∡B = ∡E⁩נתונים.
  4. ⁦△ABC ≅ △DEF⁩לפי משפט חפיפה צלע-צלע-זווית.

תשובה: ⁦△ABC ≅ △DEF⁩ לפי צלע-צלע-זווית.

שימו לב: אילו הזווית הייתה מול ⁦BC⁩, הקטנה, לא היה מותר להשתמש במשפט.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

⚖️בודקים את התנאי
✔בכל סעיף נתונות שתי צלעות וזווית. האם מותר להשתמש ב-צלע-צלע-זווית?
1צלעות ⁦9⁩ ו-⁦5⁩, הזווית מול ⁦9⁩
2צלעות ⁦9⁩ ו-⁦5⁩, הזווית מול ⁦5⁩
3צלעות ⁦12⁩ ו-⁦8⁩, הזווית מול ⁦12⁩
4צלעות ⁦6⁩ ו-⁦11⁩, הזווית מול ⁦6⁩
5צלעות ⁦6⁩ ו-⁦11⁩, הזווית מול ⁦11⁩
6יתר וניצב במשולש ישר-זווית, הזווית הישרה מול היתר
1בחרו סעיף אחד שסימנתם "אסור" והסבירו מה בדיוק עלול להשתבש.
0 מיליםנשמר ✓
2מדוע במשולש ישר-זווית התנאי מתקיים תמיד?
3מהו המקרה הדו-משמעי?
🎯בוחרים משפט
1לכל שלישיית נתונים, כתבו את שם משפט החפיפה המתאים: צלע-זווית-צלע או זווית-צלע-זווית או צלע-צלע-צלע או צלע-צלע-זווית.
⁦AB = DE, AC = DF, ∡A = ∡D⁩
⁦AB = DE, BC = EF, AC = DF⁩
⁦∡A = ∡D, AB = DE, ∡B = ∡E⁩
⁦AC = DF = 10, BC = EF = 6, ∡B = ∡E⁩
⁦∡B = ∡E, BC = EF, ∡C = ∡F⁩
⁦BC = EF, AC = DF, ∡C = ∡F⁩
2נתון ⁦AB = DE = 13⁩, ⁦BC = EF = 8⁩ ו-⁦∡C = ∡F⁩. הזווית ⁦∡C⁩ מול ⁦AB⁩. איזה משפט מתאים?
3נתון ⁦AB = DE = 13⁩, ⁦BC = EF = 8⁩ ו-⁦∡A = ∡D⁩. הזווית ⁦∡A⁩ מול ⁦BC⁩. מה נכון?
4הסבירו במילים שלכם איך בוחרים משפט חפיפה: אילו שאלות שואלים על הנתונים, ובאיזה סדר.
0 מיליםנשמר ✓
🧮חישוב מתוך חפיפה
1נתון ⁦△ABC ≅ △DEF⁩ לפי צלע-צלע-זווית, ⁦AC = 10⁩, ⁦BC = 7⁩ ו-⁦AB = 6⁩.
2שני משולשים ישרי-זווית חופפים. היתר ⁦26⁩ ס״מ וניצב אחד ⁦10⁩ ס״מ.
3נתון ⁦△ABC ≅ △DEF⁩, ⁦∡A = 90°⁩ ו-⁦∡B = 34°⁩.
4בשני משולשים חופפים ⁦AC = 2x + 5⁩ ו-⁦DF = 4x − 7⁩.
5שני משולשים ישרי-זווית חופפים, ובכל אחד הניצבים ⁦9⁩ ו-⁦12⁩ ס״מ.

רמז: זהו משולש מוכר של ⁦3-4-5⁩ מוכפל בשלוש.

✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1צלע-צלע-זווית דורש שהזווית תהיה מול הצלע הגדולה.
2בכל מקרה של שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן אפשר להשתמש ב-צלע-צלע-זווית.
3במשולש ישר-זווית התנאי של צלע-צלע-זווית מתקיים תמיד.
4המקרה הדו-משמעי מתרחש כשהזווית מול הצלע הקטנה.
5יתר וניצב שווים בשני משולשים ישרי-זווית מבטיחים חפיפה.
6צלע-צלע-זווית הוא אותו משפט כמו צלע-זווית-צלע.
7בלי התנאי על הצלע הגדולה המשפט עדיין נכון.
8הזווית ב-צלע-צלע-זווית נמצאת בין שתי הצלעות.
1בחרו טענה שסימנתם "לא נכון" והסבירו במדויק מה בה שגוי.
0 מיליםנשמר ✓
💡חשיבה
1הסבירו במילים שלכם מהו המקרה הדו-משמעי, ולמה הוא נעלם כשהזווית נמצאת מול הצלע הגדולה.
0 מיליםנשמר ✓
2שני משולשים ישרי-זווית שבהם היתר שווה וניצב אחד שווה. הוכיחו חפיפה ופרטו איזה משפט מתאים ולמה.
0 מיליםנשמר ✓
3תלמיד כתב: "נתונות שתי צלעות וזווית, ולכן המשולשים חופפים". הסבירו מה חסר בנימוק ומה צריך לבדוק.
0 מיליםנשמר ✓
4כתבו טבלה קצרה של ארבעת המשפטים: לכל אחד, מה נתון ומה התנאי המיוחד אם יש כזה.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים