←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
➗

יחס ופרופורציה

הכלי שכל נושא הדמיון נשען עליו. אחרי הדף תדעו לפתור פרופורציה במכפלה מוצלבת ולחלק קטע לפי יחס.

בתוכנית הלימודיםדמיון משולשים ופרופורציה · כיתה ח׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

לפני שמדברים על דמיון צריך כלי אחד: פרופורציה. זו משוואה שאומרת ששני יחסים שווים. כל תרגילי הדמיון והקטעים הפרופורציוניים נפתרים בסופו של דבר במשוואה אחת כזאת.

📘המושגים
יחסהמנה בין שני גדלים מאותו סוג. היחס בין ⁦6⁩ ל-⁦9⁩ הוא ⁦6 : 9⁩, ובצמצום ⁦2 : 3⁩.
פרופורציהשוויון בין שני יחסים: ⁦a : b = c : d⁩. קוראים "⁦a⁩ ל-⁦b⁩ כמו ⁦c⁩ ל-⁦d⁩".
מכפלה מוצלבתבכל פרופורציה מתקיים ⁦a · d = b · c⁩. זו הדרך לפתור.
ממוצע פרופורציוניהמספר ⁦m⁩ שמקיים ⁦a : m = m : b⁩, כלומר ⁦m² = a · b⁩.
יחס קטעיםהיחס בין אורכי שני קטעים. הוא מספר בלי יחידות, ולכן אינו משתנה אם עוברים מסנטימטרים למילימטרים.
חלוקה ביחסלחלק קטע ביחס ⁦2 : 3⁩ פירושו לחלק אותו לחמישה חלקים שווים ולקחת שניים וחמישה.
✖️המכפלה המוצלבת

הכלל: אם ⁦a : b = c : d⁩ אז ⁦a · d = b · c⁩.

ולהפך: אם ⁦a · d = b · c⁩ אז אפשר לכתוב את הפרופורציה חזרה.

כדי לפתור תרגיל: כותבים את הפרופורציה, כופלים בהצלבה, ומקבלים משוואה פשוטה עם נעלם אחד.

טעות נפוצה: להצליב לא נכון. תמיד מונה של צד אחד כפול מכנה של הצד השני.

למה זה עוזר: זה הכלי שפותר כמעט כל תרגיל דמיון.

✍️דוגמה פתורה — חלוקת קטע ביחס

נתון: קטע שאורכו ⁦45⁩ ס״מ מחולק לשני חלקים ביחס ⁦4 : 5⁩.

מבקשים: מהו אורך כל חלק?

  1. סימון:נסמן את החלקים ⁦4x⁩ ו-⁦5x⁩.
  2. משוואה:⁦4x + 5x = 45⁩, כלומר ⁦9x = 45⁩.
  3. פתרון:⁦x = 5⁩.
  4. הצבה:⁦4 · 5 = 20⁩ ו-⁦5 · 5 = 25⁩.

תשובה: החלקים הם ⁦20⁩ ו-⁦25⁩ ס״מ. בדיקה: ⁦20 + 25 = 45⁩.

שימו לב: היחס אינו האורך. ⁦4 : 5⁩ לא אומר ⁦4⁩ ס״מ ו-⁦5⁩ ס״מ, אלא רק את הפרופורציה ביניהם.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

➗פותרים פרופורציה
1מצאו את ⁦x⁩.
⁦x : 6 = 10 : 12⁩
⁦4 : x = 8 : 14⁩
⁦9 : 12 = x : 20⁩
⁦x : 8 = 21 : 24⁩
⁦5 : 15 = 7 : x⁩
⁦18 : x = 6 : 5⁩
2מצאו את הממוצע הפרופורציוני של שני המספרים.
⁦4⁩ ו-⁦9⁩
⁦2⁩ ו-⁦8⁩
⁦3⁩ ו-⁦27⁩
⁦5⁩ ו-⁦20⁩
⁦6⁩ ו-⁦24⁩
✂️חלוקה ביחס
1קטע מחולק לשני חלקים. כתבו את החלק הגדול יותר.
אורך ⁦45⁩, יחס ⁦4 : 5⁩
אורך ⁦36⁩, יחס ⁦1 : 3⁩
אורך ⁦70⁩, יחס ⁦2 : 5⁩
אורך ⁦60⁩, יחס ⁦7 : 5⁩
אורך ⁦48⁩, יחס ⁦1 : 5⁩
2צמצמו את היחס. כתבו בצורה ⁦2:3⁩, בלי רווחים.
⁦6 : 9⁩
⁦10 : 15⁩
⁦12 : 18⁩
⁦8 : 12⁩
⁦14 : 35⁩
⁦24 : 36⁩
✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1אם ⁦a : b = c : d⁩ אז ⁦a · d = b · c⁩.
2אם ⁦a : b = c : d⁩ אז ⁦a · c = b · d⁩.
3היחס ⁦6 : 9⁩ שווה ליחס ⁦2 : 3⁩.
4יחס בין שני קטעים תלוי ביחידות המדידה.
5הממוצע הפרופורציוני של ⁦4⁩ ו-⁦9⁩ הוא ⁦6.5⁩.
6קטע שמחולק ביחס ⁦1 : 1⁩ מחולק לשני חלקים שווים.
7אם היחס בין שני קטעים הוא ⁦3 : 4⁩ והראשון ⁦9⁩, השני ⁦12⁩.
1הסבירו למה יחס בין שני אורכים הוא מספר בלי יחידות, והדגימו עם סנטימטרים ומילימטרים.
0 מיליםנשמר ✓
🧩בעיות
1במפה שבה ⁦1⁩ ס״מ מייצג ⁦500⁩ מטר, המרחק בין שתי ערים הוא ⁦7⁩ ס״מ. מה המרחק האמיתי, ואיך כתבתם את הפרופורציה?
0 מיליםנשמר ✓
2שני מספרים ביחס ⁦3 : 7⁩ והפרשם ⁦28⁩. מצאו אותם והראו בדיקה.
0 מיליםנשמר ✓
3קטע מחולק לשלושה חלקים ביחס ⁦2 : 3 : 5⁩ ואורכו הכולל ⁦80⁩ ס״מ. מצאו את שלושת החלקים.
0 מיליםנשמר ✓
4הסבירו למה הממוצע הפרופורציוני של שני מספרים שווים הוא המספר עצמו.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים