←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
📐

משפט פיתגורס

סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. אחרי הדף תמצאו כל צלע חסרה במשולש ישר-זווית.

בתוכנית הלימודיםמשפט פיתגורס · כיתה ז׳פיתגורס, שטחים והיקפים · כיתה ח׳
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

זהו המשפט הראשון שמקשר בין אורכים לבין חישוב מספרי. הוא עובד רק במשולש ישר-זווית, וזה התנאי החשוב ביותר בכל הדף.

📐המשפט

הכלל: במשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

בסימון: ⁦a² + b² = c²⁩, כאשר ⁦c⁩ הוא היתר.

בציור: שטח הריבוע הירוק ועוד שטח הריבוע הכתום שווים לשטח הסגול: ⁦9 + 16 = 25⁩.

התנאי: המשולש חייב להיות ישר-זווית. בכל משולש אחר המשפט אינו נכון.

למה זה עוזר: זה הכלי היחיד שמחשב אורך צלע שלישית בלי למדוד אותה.

91625ABC⁦3² + 4² = 5²⁩
🔧שלושה שימושים

למצוא יתר: ⁦c = √(a² + b²)⁩. מחברים ואז מוציאים שורש.

למצוא ניצב: ⁦a = √(c² − b²)⁩. מחסרים ואז מוציאים שורש.

לבדוק אם משולש ישר-זווית: בודקים אם ⁦a² + b² = c²⁩ עם הצלע הגדולה בתפקיד ⁦c⁩. אם כן, המשולש ישר-זווית.

השלישי נקרא המשפט ההפוך של פיתגורס, והוא שימושי מאוד בשאלות זיהוי.

ABC68?
🔢שלשות פיתגוריות

שלוש מספרים שלמים שמקיימים את המשפט נקראים שלשה פיתגורית.

השלשות הנפוצות: ⁦3, 4, 5⁩ · ⁦5, 12, 13⁩ · ⁦8, 15, 17⁩ · ⁦7, 24, 25⁩

כל כפולה של שלשה היא גם שלשה: מ-⁦3, 4, 5⁩ מקבלים ⁦6, 8, 10⁩ ואת ⁦9, 12, 15⁩.

לזהות שלשה מוכרת חוסך חישוב שלם, אבל צריך לוודא שהמספר הגדול הוא היתר.

✍️דוגמה פתורה

נתון: במשולש ישר-זווית הניצבים ⁦6⁩ ו-⁦8⁩ ס״מ.

מבקשים: את היתר.

  1. ⁦6² + 8² = 36 + 64 = 100⁩סכום ריבועי הניצבים.
  2. ⁦c = √100 = 10⁩מוציאים שורש.

תשובה: היתר ⁦10⁩ ס״מ.

שימו לב: מוציאים שורש רק בסוף, אחרי החיבור. לא מחברים שורשים.

ABC68?
✍️דוגמה פתורה שנייה — מוצאים ניצב

נתון: במשולש ישר-זווית היתר ⁦13⁩ ס״מ וניצב אחד ⁦5⁩ ס״מ.

מבקשים: את הניצב השני.

  1. ⁦13² = 169⁩ריבוע היתר.
  2. ⁦5² = 25⁩ריבוע הניצב הידוע.
  3. ⁦169 − 25 = 144⁩מחסרים, כי כאן היתר הוא הגדול.
  4. ⁦√144 = 12⁩מוציאים שורש.

תשובה: הניצב השני ⁦12⁩ ס״מ.

שימו לב: כשמחפשים ניצב מחסרים. כשמחפשים יתר מחברים. הכיוון נקבע לפי מה שחסר.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

📏מוצאים יתר
1נתונים שני ניצבים. כתבו את אורך היתר.
⁦3 , 4⁩
⁦6 , 8⁩
⁦5 , 12⁩
⁦9 , 12⁩
⁦8 , 15⁩
⁦7 , 24⁩
2הניצבים ⁦6⁩ ו-⁦8⁩ ס״מ.
ABC68?
3הניצבים ⁦9⁩ ו-⁦12⁩ ס״מ.
4הניצבים ⁦5⁩ ו-⁦12⁩ ס״מ.
5במלבן שצלעותיו ⁦8⁩ ו-⁦15⁩ ס״מ.
ABCD158

האלכסון הוא יתר במשולש ישר-זווית.

🔍מוצאים ניצב
1נתונים יתר וניצב אחד. כתבו את הניצב השני.
⁦יתר 5 , ניצב 3⁩
⁦יתר 10 , ניצב 6⁩
⁦יתר 13 , ניצב 5⁩
⁦יתר 15 , ניצב 9⁩
⁦יתר 17 , ניצב 8⁩
⁦יתר 25 , ניצב 7⁩
2היתר ⁦13⁩ וניצב אחד ⁦5⁩ ס״מ.
3היתר ⁦25⁩ וניצב אחד ⁦7⁩ ס״מ.
4היתר ⁦20⁩ וניצב אחד ⁦16⁩ ס״מ.
5סולם באורך ⁦10⁩ מטר נשען על קיר, ורגלו במרחק ⁦6⁩ מטר מן הקיר.

הסולם הוא היתר.

✔️בודקים אם ישר-זווית
✔האם המשולש ישר-זווית?
1⁦3, 4, 5⁩
2⁦5, 6, 8⁩
3⁦6, 8, 10⁩
4⁦7, 8, 11⁩
5⁦9, 12, 15⁩
6⁦4, 5, 6⁩
7⁦8, 15, 17⁩
8⁦10, 12, 15⁩
1בחרו שלישייה שסימנתם "לא ישר-זווית" והראו את החישוב המדויק.
0 מיליםנשמר ✓
2כדי לבדוק אם משולש ישר-זווית, את איזו צלע מציבים בתפקיד ⁦c⁩?
3אם ⁦a² + b² > c²⁩, מה אפשר לומר על המשולש?
🌍שאלות מילוליות
1מגרש מלבני שאורכו ⁦40⁩ מטר ורוחבו ⁦30⁩ מטר.
2מסך טלוויזיה מלבני שרוחבו ⁦48⁩ ס״מ וגובהו ⁦36⁩ ס״מ.

גודל מסך נמדד באלכסון.

3אופניים נסעו ⁦9⁩ ק״מ צפונה ואחר כך ⁦12⁩ ק״מ מזרחה.
4משולש שווה שוקיים שבסיסו ⁦16⁩ ס״מ וגובהו לבסיס ⁦6⁩ ס״מ.

הגובה לבסיס מחלק אותו לשניים, ונוצר משולש ישר-זווית.

5מעוין שאלכסוניו ⁦10⁩ ו-⁦24⁩ ס״מ.

האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה.

✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1משפט פיתגורס נכון בכל משולש.
2סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
3היתר הוא הצלע הארוכה במשולש ישר-זווית.
4אפשר לחבר שורשים במקום לחבר ריבועים.
5⁦3, 4, 5⁩ היא שלשה פיתגורית.
6כל כפולה של שלשה פיתגורית היא גם שלשה.
7⁦5, 6, 8⁩ היא שלשה פיתגורית.
8כשמחפשים ניצב מחסרים ולא מחברים.
9אפשר להשתמש בפיתגורס במשולש קהה-זווית.
10אלכסון מלבן הוא יתר במשולש ישר-זווית.
1הסבירו במספרים למה ⁦5, 6, 8⁩ אינה שלשה פיתגורית.
0 מיליםנשמר ✓
💡חשיבה
1הסבירו במילים שלכם את המשמעות של הציור עם שלושת הריבועים.
0 מיליםנשמר ✓
2הסבירו למה חשוב לזהות איזו צלע היא היתר לפני שמתחילים לחשב. מה קורה אם טועים?
0 מיליםנשמר ✓
3בריבוע שצלעו ⁦10⁩ ס״מ. הסבירו איך מחשבים את האלכסון, ולמה התשובה אינה מספר שלם.
0 מיליםנשמר ✓
4המציאו שאלה מילולית שנפתרת בעזרת פיתגורס, וכתבו גם את הפתרון.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים