←חזרה להנדסה⌂כל הדפים ★ הנדסה
📏

משיק למעגל

ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת. אחרי הדף תדעו שהוא מאונך לרדיוס, ותחשבו אורך משיק בעזרת פיתגורס.

בתוכנית הלימודיםהנדסה לחטיבה העליונה: מעגל, מקומות גיאומטריים ונוסחאות
קדימה, מתחילים!
מה לומדים כאן

המשיק הוא הישר שנוגע במעגל פעם אחת ולא נכנס פנימה. יש לו שתי תכונות שמופיעות כמעט בכל תרגיל: הוא מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ושני משיקים שיוצאים מאותה נקודה שווים באורכם.

📘המושגים
משיקישר שיש לו בדיוק נקודה משותפת אחת עם המעגל.
נקודת השקההנקודה היחידה שבה המשיק נוגע במעגל.
חותךישר שחותך את המעגל בשתי נקודות. חלקו שבתוך המעגל הוא מיתר.
משיק פנימי לצורהמעגל שמשיק לכל צלעות המצולע נקרא מעגל חסום במצולע.
📐משיק מאונך לרדיוס

המשפט: המשיק למעגל מאונך לרדיוס שמגיע אל נקודת ההשקה.

בסימון: אם ⁦t⁩ משיק ב-⁦A⁩, אז ⁦OA ⊥ t⁩.

גם ההפך נכון: ישר שעובר בנקודה על המעגל ומאונך לרדיוס שם, הוא משיק.

המשמעות המעשית: ברגע שרואים משיק, מיד יש זווית ישרה בציור, ולכן אפשר להשתמש בפיתגורס.

למה זה עוזר: זו הזווית הישרה שמאפשרת לפתור כמעט כל תרגיל משיק.

AO
✌️שני משיקים מנקודה אחת

המשפט: שני משיקים היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל שווים באורכם, עד לנקודות ההשקה.

נובע מזה: הקטע מן הנקודה אל המרכז חוצה את הזווית שבין שני המשיקים, וגם את זווית המרכז שביניהם.

ולכן: נוצר שם דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

ABPO
✍️דוגמה פתורה — משיק ופיתגורס

נתון: מנקודה ⁦P⁩ שמחוץ למעגל יוצא משיק אל הנקודה ⁦A⁩. נתון ⁦OP = 13⁩ ס״מ ורדיוס המעגל ⁦R = 5⁩ ס״מ.

מבקשים: מהו אורך המשיק ⁦PA⁩?

  1. זווית ישרה:המשיק מאונך לרדיוס, ולכן המשולש ⁦OAP⁩ הוא ישר-זווית ב-⁦A⁩.
  2. פיתגורס:⁦PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144⁩.
  3. שורש:⁦PA = 12⁩ ס״מ.

תשובה: אורך המשיק הוא ⁦12⁩ ס״מ.

שימו לב: ⁦OP⁩ הוא היתר, כי הוא מול הזווית הישרה. לא להחליף בינו לבין הניצב.

תרגול — בוחרים משימה

כל כרטיסייה היא סוג תרגול אחר. אפשר להתחיל מאיפה שרוצים ולחזור להסבר בכל רגע.

🧮משיק ופיתגורס
1מנקודה ⁦P⁩ יוצא משיק אל ⁦A⁩. חשבו את ⁦PA⁩ בסנטימטרים.
⁦OP = 10⁩, ⁦R = 6⁩
⁦OP = 13⁩, ⁦R = 5⁩
⁦OP = 25⁩, ⁦R = 7⁩
⁦OP = 17⁩, ⁦R = 8⁩
⁦OP = 41⁩, ⁦R = 9⁩
⁦OP = 26⁩, ⁦R = 10⁩
2הפעם מחפשים את הרדיוס או את ⁦OP⁩.
⁦PA = 12⁩, ⁦R = 9⁩. חשבו ⁦OP⁩
⁦PA = 8⁩, ⁦OP = 17⁩. חשבו ⁦R⁩
⁦PA = 20⁩, ⁦R = 15⁩. חשבו ⁦OP⁩
⁦PA = 24⁩, ⁦OP = 25⁩. חשבו ⁦R⁩
📐זוויות ליד משיק
1משיק בנקודה ⁦A⁩, ורדיוס ⁦OA⁩.
AO
2שני משיקים מן הנקודה ⁦P⁩. נתון ⁦∡APB = 60°⁩.
ABPO
3שני משיקים מנקודה ⁦P⁩. נתונה ⁦∡APB⁩, חשבו את ⁦∡AOB⁩ במעלות.
⁦40°⁩
⁦90°⁩
⁦60°⁩
⁦100°⁩
4הסבירו למה סכום שתי הזוויות ⁦∡APB⁩ ו-⁦∡AOB⁩ הוא תמיד ⁦180°⁩. היעזרו במרובע ⁦OAPB⁩.
0 מיליםנשמר ✓
✔️נכון או לא נכון
✔סמנו נכון או לא נכון.
1המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
2למשיק יש שתי נקודות משותפות עם המעגל.
3שני משיקים מנקודה אחת שווים באורכם.
4הקטע מן הנקודה החיצונית אל המרכז חוצה את הזווית בין המשיקים.
5חותך הוא ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת.
6אפשר להעביר משיק דרך נקודה שנמצאת בתוך המעגל.
7מנקודה שמחוץ למעגל אפשר להעביר בדיוק שני משיקים.
8המרובע שנוצר משני משיקים ושני רדיוסים הוא דלתון.
1נקודה נמצאת על המעגל עצמו. כמה משיקים אפשר להעביר דרכה, ולמה?
0 מיליםנשמר ✓
💡חשיבה
1מעגל חסום במשולש נוגע בשלוש הצלעות. הסבירו למה מרכזו נמצא במפגש חוצי הזוויות של המשולש.
0 מיליםנשמר ✓
2שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ. הרדיוסים ⁦4⁩ ו-⁦7⁩ ס״מ. מה המרחק בין המרכזים, ולמה?
0 מיליםנשמר ✓
3שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים. הרדיוסים ⁦10⁩ ו-⁦6⁩ ס״מ. מה המרחק בין המרכזים? ציירו והסבירו.
0 מיליםנשמר ✓
4הוכיחו שאם מנקודה ⁦P⁩ יוצאים שני משיקים אל ⁦A⁩ ואל ⁦B⁩, אז ⁦OP⁩ הוא האנך האמצעי של ⁦AB⁩.
0 מיליםנשמר ✓

ההסברים, הציורים והתרגילים בדף זה נכתבו ונבנו במרכז אריאדנה. רשימת הנושאים נבנתה לפי תוכנית הלימודים בגיאומטריה לחטיבת הביניים.

כל הכבוד! 🎉

סיימתם את כל המשימות בדף. אתם אלופים!

⬇️ הורדה למחשב

ייפתח חלון ההדפסה. בוחרים ביעד שמירה כ-PDF ולוחצים שמירה. הלוגו והצבעים יורדים יחד עם הדף.

🔗 קישור לדף הזה

העתיקו והדביקו בנושן, בוואטסאפ או בכל מקום שבו הילד יפתח את הדף.

שימו לב: זה קישור לקובץ במחשב הזה בלבד. כדי שהילד יוכל לפתוח אותו במכשיר אחר צריך להעלות את הדף לאינטרנט.

←חזרה להנדסה⌂כל הדפים